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洛谷P4389 付公主的背包

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作者 : deco date_range日期 : 2019-04-04

考虑朴素的生成函数,对于所有重量为$v$的物品,他的生成函数是$\frac{1}{1-x^v}$

$ans=\prod \frac{1}{1-x^v}$

此时复杂度为$O(n^2logn)$,无法接受,考虑优化

$ans=exp(\sum ln(\frac{1}{1-x^v}))$

这个$ln(\frac{1}{1-x^v})$,可以先求导后再积分,可以得到它等于$\sum\limits_{i=1}^n \frac{x^i}{i}$

那么求和后$exp$即可

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
#define int long long
using namespace std;
const int mod=998244353,ge=3;
int n,m,l,a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn],e[maxn],qwq[maxn],qaq[maxn],lim,r[maxn],cnt[maxn];
int ksm(int qaq,int f)
{
    int res=1;
    while(f)
    {
        if(f&1) 
        {
            res=res*qaq%mod;
        }
        qaq=qaq*qaq%mod;
        f>>=1;
    }
    return res;
}
void NTT(int *x,int flag)
{
    for(int i=0;i<lim;i++) 
    {
        if(i<r[i]) 
        {
            swap(x[i],x[r[i]]);
        }
    }
    for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
    {
        int wn=ksm(ge,flag==1?(mod-1)/(mid<<1):(mod-1-(mod-1)/(mid<<1)));
        for(int r=(mid<<1),i=0;i<lim;i+=r)
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn%mod)
            {
                int m1=x[i+k],m2=w*x[i+mid+k]%mod;
                x[i+k]=(m1+m2)%mod,x[i+mid+k]=(m1-m2+mod)%mod;
            }
        }
    }
}
void getinv(int *f,int *g,int len)
{
    if(len==1)
    {
        g[0]=ksm(f[0],mod-2);
        return;
    }
    getinv(f,g,len+1>>1);
    lim=1;
    l=0;
    while(lim<(len<<1))
    {
        lim<<=1;
        l++;
    }
    for(int i=1;i<lim;i++) 
    {
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    }
    for(int i=0;i<len;i++) 
    {
        c[i]=f[i];
    }
    for(int i=len;i<lim;i++) 
    {
        c[i]=0;
    }
    NTT(c,1),NTT(g,1);
    for(int i=0;i<lim;i++) 
    {
        g[i]=((2ll-g[i]*c[i]%mod)+mod)%mod*g[i]%mod;
    }
    NTT(g,-1);
    int ny=ksm(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        g[i]=g[i]*ny%mod;
    }
    for(int i=len;i<lim;i++) 
    {
        g[i]=0;
    }
}
void dao(int *f,int *g,int len)
{
    for(int i=1;i<len;i++) 
    {
        g[i-1]=i*f[i]%mod;
    }
    g[len-1]=0;
}
void gint(int *f,int *g,int len)
{
    for(int i=1;i<len;i++) 
    {
        g[i]=f[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
    }
    g[0]=0;
}
void getln(int *f,int *g,int len)
{
    dao(f,b,len),getinv(f,a,len);
    lim=1,l=0;
    while(lim<(len<<1))
    {
        lim<<=1;
        l++;
    }
    for(int i=1;i<lim;i++) 
    {
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    }
    NTT(a,1),NTT(b,1);
    for(int i=0;i<lim;i++) 
    {
        b[i]=a[i]*b[i]%mod;
    }
    NTT(b,-1);
    int ny=ksm(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        b[i]=b[i]*ny%mod;
    }
    gint(b,g,len);
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i=len;i<lim;i++) 
    {
        g[i]=0;
    }
}
void getexp(int *f,int *g,int len)
{
    if(len==1)
    {
        g[0]=1;
        return;
    }
    getexp(f,g,len+1>>1);
    lim=1,l=0;
    while(lim<(len<<1))
    {
        lim<<=1;
        l++;
    }
    for(int i=1;i<lim;i++) 
    {
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    }
    for(int i=0;i<(len<<1);i++) 
    {
        d[i]=e[i]=0;
    }
    getln(g,d,len);
    for(int i=0;i<len;i++) 
    {
        e[i]=f[i];
    }
    NTT(g,1),NTT(d,1),NTT(e,1);
    for(int i=0;i<lim;i++) 
    {
        g[i]=(1ll-d[i]+e[i]+mod)*g[i]%mod;
    }
    NTT(g,-1);
    int ny=ksm(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        g[i]=g[i]*ny%mod;
    }
    for(int i=len;i<lim;i++) 
    {
        g[i]=0;
    }
}
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        int x;
        scanf("%lld",&x);
        cnt[x]++;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(!cnt[i])
        {
            continue;
        }
        for(int j=i;j<=m;j+=i)
        {
            qwq[j]+=cnt[i]*ksm((j/i),mod-2)%mod;
        }
    }
    getexp(qwq,qaq,m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    {
        printf("%lld\n",qaq[i]);
    }
    return 0;
}

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